Умножение двузначных чисел в уме. Как освоить/улучшить навык.

Для начала я провел опыт по перемножению двузначных чисел в уме. С помощью генератора случайных чисел выписал 10 пар двузначных чисел.

Перемножил их в уме на время. В результате на перемножение десяти примеров я потратил 5 минут 40 секунд. В среднем 34 секунды на пример. Все 10 результатов оказались верными.

Потом выписал другие 10 пар чисел и снова перемножил их, но на сей раз приблизительно. Я потратил на это 2 минуты и 10 секунд. В среднем 13 секунд на умножение. Погрешность результатов составила от 0 до 7,8% от точного значения. Средняя погрешность составила 2,5%. Вполне неплохо для практического использования в быту.

N.B. Перед началом умножения я смотрел на пример, запоминал пару чисел и отводил глаза. Во время самого счёта числа не были перед глазами. Как только я заканчивал считать пример, я выписывал результат на листок, после чего смотрел на следующую пару чисел. Таким образом, я заставлял работать память, осложняя себе счет и уменьшая скорость умножения. На мой взгляд, такой подход оправдан, поскольку в реальной жизни нам не всегда удастся держать перед глазами числа, которые нужно умножить. Поэтому условия были приближены к «боевым».

Сводная таблица результатов

	Точный счет	Приблизительный счет
Количество примеров	10	10
Погрешность в результатах	0%	от 0 до 7,8%, среднее значение 2,5%.
Общее время, мин	5:40	2:10
Среднее время на пример, сек	34	13

Порядок счета

Точный счет

При точном счете нужно перемножить 4 пары чисел в пределах таблицы умножения, а потом правильно их сложить (с учетом разрядов).

Например, если нужно умножить 85*64, то результат получается как сумма следующих пар

8 * 6 * 100 (перемножаем десятки двух чисел) = 48 * 100 = 4800
8 * 4 * 10 (десятки одного числа умножаем на единицы второго) = 32 * 10 = 320
5 * 6 * 10 (единицы одного числа умножаем на десятки второго) = 30 * 10 = 300
5 * 4 (перемножаем единицы двух чисел) = 20

В результате получаем: 4800 + 320 + 300 + 20 = 5440.

Приблизительный счет. Один из методов.

Приблизительный счет крайне полезен в повседневной жизни. Он позволит быстро прикинуть в уме результат с допустимой погрешностью. Для точного же счета всегда можно воспользоваться калькулятором. Например, у вас запланирован бюджет 1000 рублей на раздачу конфет в детском саду по случаю дня рождения ребенка.

Одна конфета в магазине стоит 73 рубля, всего в группе 25 детей. Стоит ли тратить ресурсы вашего «органического процессора» или тянуться за калькулятором, если сразу понятно, что 70*20 = 1400. То есть в бюджет вы не уложитесь. Потратив буквально несколько секунд, вы пойдете искать что-нибудь подешевле.

Методов приблизительного счета может быть много. Сейчас я расскажу только об одном из них, которым пользовался во время теста.

___________________

Возьмем ту же пару, что была у нас в верхнем примере: 85 * 64.

На первом шаге перемножьте десятки двух чисел.

80 * 60 = 4800. Возможно, вам хватит уже этой точности, чтобы принять решение. Но если нет, то точность можно повысить.

Для этого найдите среднее между единицами двух чисел. Среднее между 5 и 4 составит 4,5. Округлите до 5.

Потом сложите между собой десятки. В нашем случае 8 + 6 = 14.

Перемножьте два полученных результата: 5 * 14 = 70. Это приблизительное количество десятков, которое нужно добавить к первоначальному результату. То есть 70*10 = 700.

Суммируем два значения: 4800 + 700 = 5500.

_____________

5500 — это и есть приблизительный ответ. Заметьте, что он не сильно отличается от правильного значения 5440, которое мы получили методом точного счета. В некоторых случаях погрешность может вырасти, но для использования в быту такой точности вполне должно хватить.

Вас может удивить, что описание приблизительного метода подсчета заняло больше времени, чем описание точного метода. И при первом приближении точный метод кажется даже проще, чем приблизительный. Но это не так. Вспомните, что в среднем я тратил лишь 13 секунд на получение примерного ответа и целых 34 секунды на получение точного ответа. Почему так? Разберемся в следующей главе.

3 составляющих счета. Почему сложно считать в уме.

Счет в уме имеет 3 составляющих:

• Математические операции
• Порядок вычисления
• Работа памяти

Математические операции

Математические операции — это не что иное, как простейшие базовые операции типа 8 * 6 = 48 или 4800 + 700 = 5500.

Чтобы перемножать двузначные числа в уме нужно хорошо помнить таблицу умножения и обладать базовыми навыками сложения чисел.

Осмелюсь предположить, что если вы интересуетесь перемножением двузначных чисел, то уж с таблицей умножения у вас всё в порядке и подробно останавливаться здесь не буду.

Порядок вычисления

Чтобы получить результат умножения 85 * 64, необходимо умножить несколько чисел и сложить их между собой. Но какие числа нужно перемножить? И почему их нужно складывать друг с другом? Если вы понимаете это, значит вам понятна логика вычисления.

80 * 60 + 80* 4 + 5 * 60 + 5 * 4 = 5 440 — точный счет

80 * 60 + 14 * 5 (округлить вверх (4+5/)2) * 10 = 5500 — приблизительный счет

Порядок вычисления должен находиться у вас в долговременной памяти. Вы не должны думать об этом во время счета. Если вы будете соображать в стиле «так, какое там число я должен умножить на какое…», то и без того большая нагрузка на вашу подсистему краткосрочной памяти вырастет и получить результат будет практически невозможно или это будет стоить слишком больших усилий.

Порядок счета запоминается с опытом и практикой. Понять его «обходным маневром» сложно. Если у меня получится обнаружить какой-нибудь универсальный мнемонический прием для облегчения запоминания порядка действий, я обязательно об этом напишу.

Работа памяти

Человеческая память, когда речь идет о счете в уме, оказывается крайне малоэффективной по сравнению с памятью компьютера. Высокое потребление энергии и низкая скорость — вот как можно ее охарактеризовать. Эволюция «тренировала» нас по многим критериям, но счет в уме не входил в ее приоритеты. Высокая нагрузка на систему памяти во время счета не доставляют человеку удовольствия. Именно поэтому многие люди не любят считать в уме и всячески избегают этого. Но раз уж вы здесь, давайте продолжим разбираться с теорией 🙂

У нас есть две подсистемы памяти:

• долговременная (энергоэффективная)
• кратковременная (ресурсоемкая)

В отличии от машины память человека носит «аналоговый характер». Нас интересует образный тип памяти (еще бывает эмоциональный). Образная память в свою очередь состоит из нескольких каналов. Нас интересует визуальный и слуховой каналы. Память о числе всплывает на ум или в виде визуальной картинки и (или) в виде проговаривания числа.

Так же (в отличии от машины) скорость памяти человека сильно связана с ее энергоэффективностью. Энергозатратные операции выполняются крайне медленно. Во время счета вы можете время от времени забывать числа, которые нужно перемножить. Причиной этого может стать большой расход энергии и как следствие сброс «буфера» краткосрочной памяти.

Важно во время счета как можно больше задействовать долговременную память. Она требует малых затрат энергии и работает быстро. Если вы хорошо помните таблицу умножения, то ответ на вопрос 7 * 8 = 56 приходит на ум за считанные доли секунды. Однако в долгосрочную память можно убрать лишь таблицу умножения и да логику вычислений. Текущие же числа, которые нужно умножить, а также промежуточные результаты операций, вы можете держать лишь в краткосрочной памяти.

Ключевая слабость, которая замедляет человеческий счет в уме — это работа краткосрочной памяти. Вам нужно непродолжительное время удерживать в голове перемножаемые числа, а также промежуточные результаты умножений. Емкость краткосрочной памяти невелика (7+/-2 элемента). Чем больше элементов в памяти, тем она потребляет больше энергии и тем больший дискомфорт нам доставляет. Удержать в голове 2 числа намного проще, чем 4.

К сожалению, взрослому человеку крайне сложно «прокачать» подсистему кратковременной памяти. Было бы отлично иметь возможность прийти в магазин и заказать более совершенную планку памяти. Но увы 🙂

Лично я хорошо использую слуховой канал памяти (проговариваю числа про себя). Однако визуальная память у меня работает крайне плохо и нестабильно. Люди с хорошей визуальной кратковременной памятью могут научиться считать вдвое быстрее меня при должной тренировке (напомню, у меня уходит в среднем 34 секунды на пример при точном счете и 13 секунд при приблизительном).

Преобразовательные операции в памяти

Еще одна особенность нашей слуховой памяти — в зависимости от формата запоминания числа могут потребоваться дополнительные действия по преобразованию этого числа для дальнейших операций.

Вы наверняка замечали, что мысленно преобразовать номер телефона 234-15-46 в 23-41-546 не так просто. Ведь мы запоминаем число не цифровым способом, а аналоговым. В устном счете мы сталкиваемся с той же проблемой.

На входе у нас есть 2 числа 85 и 64. Но оперировать мы должны с числами 8, 5, 6, 4. Поверьте, если вы запомните числа как 85 и 64, то необходимость дальнейшего их преобразования в ходе вычислений дополнительно нагрузит вашу кратковременную память. Но куда деваться? Слуховой канал не дает нам удобного формата для сохранения таких чисел. Пожалуй, единственный трюк — это сразу поменять местами единицы у двух чисел. То есть запомнить их на слух как 84 и 65. Тогда дальнейшие операции потребуют меньших энергозатрат.

Если вы можете представить эти числа в виде визуального образа (что мне увы не дано), то ваша задача сильно облегчится. С визуальным образом двух чисел «перед глазами» вы не будете тратить время на преобразовательные операции.

Почему приблизительный счет намного проще точного

Дело, конечно, не в математических операциях, и не в логике счета. Здесь мы не получаем существенного выигрыша во времени.

Ключевое преимущество приблизительного вычисления — снижение нагрузки на подсистему кратковременной памяти (нужно держать в голове лишь 3 промежуточных значения вместо 4). Кроме того приблизительный счет позволяет избегнуть энергоемкой преобразовательной операции, чтобы сообразить какие десятки на какие единицы нужно перемножить. Это особенно актуально тем, кто пользуется слуховой памятью.

Еще раз вспомним наш пример: 85 * 64

80 * 60 — легкая операция для слуховой подсистемы памяти

80 * 4 — энергозатратная и долгая операция для слуховой подсистемы памяти

5 * 60 — энергозатратная и долгая операция для слуховой подсистемы памяти

5 * 4 — легкая операция для слуховой подсистемы памяти.

Как видно, если считать точно, то мы сталкиваемся минимум с двумя «тяжелыми» операциями. Перемножить 80 * 4 легко, но подготовить эти числа для перемножения (извлечь их в нужный момент из чисел 85 и 64) довольно сложно.

Если считать приблизительно, то мы избегаем этих двух тяжелых операций и существенно экономим ресурсы нашего органического процессора.

Выводы

Подведу небольшие итоги. Чтобы считать в уме нужно:

1. Хорошо помнить таблицу умножения и быстро складывать числа.
2. Хорошо освоить несложный Порядок счета как точным, так и приблизительным методом. Этот порядок должен закрепиться у вас в долговременной памяти. Вы не должны задумываться о нем во время счета.
3. Потренировать оба метода — точного счета и приблизительного. Понять насколько отличаются результаты по времени и точности.
4. Выбрать более подходящий для вас метод, которым вы будете пользоваться в жизни. Полагаю, это будет приблизительный метод. Для точного пользуйтесь калькулятором 🙂

На текущий момент я не нашел особых лайфхаков для ускорения вычислений.

Пожалуй, единственная хитрость во время точного счета — это переставить десятки и единицы у перемножаемых чисел. Такой прием актуален для тех, кто пользуется слуховым каналом кратковременной памяти (то есть запоминает числа путем проговаривания их про себя). Вместо 85 * 64 я запоминая эти числа (и проговариваю их про себя) как 84 * 65. В этом случае я экономлю время на преобразовательную операцию и в процессе счета мне проще сообразить, что 80 нужно умножить на 4, а 60 нужно умножить на 5.

Если в будущем я найду какие-то дополнительные хитрости для ускорения счета, обязательно дополню эту статью.

Приложение:

Перемножаемые пары чисел. Точный счет.

Умножаемые числа	Мой ответ	Правильный ответ	Погрешность
85 * 64	5440	5440	0%
44 * 18	792	792	0%
43 * 82	3526	3526	0%
41 * 92	3772	3772	0%
93 * 56	5208	5208	0%
47 * 33	1551	1551	0%
47 * 11	517	517	0%
77 * 87	6699	6699	0%
82 * 34	2788	2788	0%
26 * 43	1118	1118	0%

Перемножаемые пары чисел. Приблизительный счет.

Умножаемые числа	Мой ответ	Правильный ответ	Погрешность
82 * 63	5100	5166	-1,3%
58 * 89	5300	5162	+2,7%
24 * 85	2200	2040	+7,8%
76 * 99	7500	7524	-0,3%
35 * 47	1550	1645	-6,1%
74 * 40	2960	2960	0%
78 * 82	6400	6396	+0,06%
35 * 55	2000	1925	+3,9%
11 * 58	630	638	-1,2%
69 * 37	2600	2553	+1,8%